% 9я лекция.
\chapter{Задача моментов в $\Lp$ и $\LInf$}
\section{Пространство $\Lp, 1 < p < \infty$} % может корректнее будет запись \mathcal{L}_p
Рассмотрим случай $\Lp, \quad 1 < p < \infty$. Рассмотрим задачу:
\begin{gather*}
	\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t),\\
	x(t_0) = x^0 \longrightarrow x(t_1) = x^1,\\
	\norm{u(\cdot)}_\Lp = \left[ \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{u(\cdot)}^p d \tau \right]^{\frac{1}{p}} \to \inf.\\
\end{gather*}
Ограничение на возможные значения управления: $\norm{u}_\Lp \leq M$.\\
Задача моментов:
\begin{gather*}
	c = x^1 - X(t_1, t_0)x^0 - \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, \tau) f(\tau) d \tau,\\
	H(t_1, \tau) = X(t_1, \tau) B(\tau),\\
	\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, \tau) u(\tau) d \tau = c.
\end{gather*}
Введём множество достижимости $\soa_\mu[t_1, t_0] = \set{\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, \tau) u(\tau) d \tau}{\norm{u}_\Lp \leq \mu}$.
\begin{stm}
	$\soa_\mu \in \conv \real^n$.
\end{stm}
\begin{proof} Докажем выпуклость, ограниченность и замкнутость нашего множества:\\
	\emph{Выпуклость} и \emph{ограниченность}: 
		$$
		u = \lambda u^1 + (1-\lambda)u^2 \Rightarrow \norm{u}_\Lp \leq \lambda \norm{u^1}_\Lp + (1-\lambda) \norm{u^2}_\Lp \leq \mu;
		$$
		\emph{Замкнутость}: Аналогично случаю $\LTwo$, % так ведь? мы же \LTwo рассматривали до этого?
		так как пространство $\Lp, 1 < p < \infty$ рефлексивно (единичный шар представляет из себя слабый компакт).
\end{proof}

% TODO: стоит добавить рассуждений на тему: Где же отличия от ранее рассмотренного случая $p = 2$?
Найдём опорную функцию:
\begin{align*}
	\sufu{l}{\soa_\mu[t_1]} &= \sup\limits_{u(\cdot)} \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \scalar{l}{H(t_1, \tau) u(\tau)} d \tau = \sup\limits_{u(\cdot)} \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \scalar{H^T(t_1, \tau) l}{u(\tau)} d \tau \leq {}\\ {}&\leq \{\text{Неравенство Коши--Буняковского для внутренней нормы}\} \leq{} \\ {} &\leq \sup\limits_{u(\cdot)} \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{H^T(t_1, \tau) l} \norm{u(\tau)} d \tau \leq %дальше не очень простое место для вёрстки в латехе
	\{\text{Неравенство Гёльдера}\} \leq {} \\ {} &\leq \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{H^T(t_1, \tau) l}^q d \tau \right]^{1/q} \left[ \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{u(\tau)}^p d \tau \right]^{1/p} \leq \mu \norm{H^T(t_1, \cdot) l}_\Lq,
\end{align*}
где $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Чуть ниже понадобится следующее соотношение, которое легко вывести: 
$$q - p = \dfrac{2p - p^2}{p - 1}.$$
Неравенство Коши--Буняковского превращается в равенство ровно в том случае, когда
$\norm{u(\tau)} = \lambda(\tau) \norm{H^T(t_1, \tau) l}$, где $\lambda(\tau) \ne \const$. 
%может лучше написать "не обязательно является постоянной"?
Неравенство Гёльдера превращается в равенство ровно в том случае, когда
$\norm{u(\tau)}^p = \Tilde \lambda \norm{H^T(t_1, \tau) l}^q, \Tilde \lambda = \const, \Tilde \lambda \geq 0$, т.\,е. налицо линейная зависимость двух величин. Осталось выявить зависимость между $\lambda(\tau), \Tilde \lambda$ и $\mu$ (а она должна быть, поскольку все неравенства можно превратить в равенства и наша цель по вычислению опорной функции будет достигнута, т.\,к. мы получим точную верхнюю грань):
\begin{gather*}
	\norm{u(\tau)} = \lambda(\tau) \norm{H^T(t_1, \tau) l},\\
	\norm{u(\tau)}^p = \lambda^p(\tau) \norm{H^T(t_1, \tau) l}^p = \Tilde \lambda \norm{H^T(t_1, \tau) l}^q,\\
	\lambda^p = \Tilde \lambda \norm{H^T(t_1, \tau) l}^{q-p} = \Tilde \lambda \norm{H^T(t_1, \tau) l}^{\frac{2p - p^2}{p - 1}},\\
	\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{u(\tau)}^p d \tau = \Tilde \lambda \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{H^T(t_1, \tau) l}^q d \tau,\\
	\mu^p = \Tilde \lambda \norm{H^T(t_1, \cdot) l}^q_\Lq,\\
	\lambda^p = \mu^p \left[\dfrac{\norm{H^T(t_1, \tau) l}}{\norm{H^T(t_1, \cdot) l}_\Lq} \right]^{\frac{2p - p^2}{p - 1}}.
\end{gather*}
Тогда управление, на котором достигается максимум опорной функции в направлении $l$ вычисляется как
$$
	u^l(\tau) = \mu \left[\dfrac{\norm{H^T(t_1, \tau) l}}{\norm{H^T(t_1, \cdot) l}_\Lq} \right]^{\frac{2p - p^2}{p - 1}} H^T(t_1, \tau) l.
$$
Соответствующее значение для опорной функции запишется как
$$
	\sufu{l}{\soa_\mu[t_1]} = \mu \norm{H^T(t_1, \cdot) l}_\Lq.
$$
$\soa_\mu$ --- строго выпукло, ибо максимизатор один, правда получается уже не эллипсоид.
Аналогично, найдём $\mu^0$:
\begin{gather*}
	\scalar{l}{c} \leq \mu \norm{H^T(t_1, \cdot) l},\\
	\mu^0 = \sup\limits_{l \ne 0} \dfrac{\scalar{l}{c}}{\norm{H^T(t_1, \cdot)l}}_\Lq = \sup \set{\scalar{l}{c}}{\norm{H^T(t_1, \cdot) l}_\Lq = 1}.
\end{gather*}
% FIXME: тут в лекциях какие-то разночтения и непонятки про сопряжённую норму
Если система вполне управляема, то $\mu^0$ --- сопряжённая норма; если нет, то есть условие разрешимости (заметим, что сопряжённая норма в $\Lq$ --- это норма в $\Lp$). % может лучше сопряжённое пространство?
\begin{ex}[Пример разрешимой системы]
	\begin{equation*}
		A = 0, B = \const, \abs{B} \ne 0; \mu^0 = \norm{B^{-1} c}_\Lp.
	\end{equation*}
	Найдём $l^0$: $l^0 \in \Argmax \set{\scalar{l}{c}}{\norm{H^T l}_\Lq = 1}$.
	Тогда $u^0(\tau) = u^{l^0}(\tau)$.
\end{ex}